Que signifient les erreurs évoquant « \spacefactor » ?

Les erreurs

! You can't use `\spacefactor' in vertical mode.
\@->\spacefactor 
                 \@m

ou

! You can't use `\spacefactor' in math mode.
\@->\spacefactor 
                 \@m

ou bien encore

! Improper \spacefactor.
...

agressent le programmeur $\LaTeX$ qui utilise une commande interne sans prendre de « précaution ». Une commande interne telle que \@foo a été définie pour un usage interne à des commandes et non pour être utilisée directement par l'utilisateur dans le document contenant le texte à présenter. Malgré tout, si elle est directement utilisée dans le document de l'utilisateur, cette commande est alors interprétée comme \@ suivie du texte foo. Et la commande \@ sert alors à définir l'espace de fin de phrase dans certaines circonstances et elle utilise \spacefactor pour le faire. Ceci explique l'erreur obtenue.

Ce sujet est détaillé dans la question « Que font `\@` et `@` dans les noms des commandes ? ».

Source: '`\spacefactor` complaints'